Lawler and Coyle『Lectures on Contemporary Probablity』Student mathematical library, AMS, 1999.

Lectures on Contemporary Probability (Student Mathematical Library, V. 2)

学部生に対して行われた，IAS/Park City 数学研究所の確率論のサマースクール（？）の講義をまとめた本．全部で，９９ページと非常に薄い．［舟木］の前に，この本を読んでもよかったと思う．内容はとても面白い．後半の約１／４は，シミュレーションに充てられている．当然ながら，難しいところは，ヒューリスティックな説明やおはなしになっていて，証明まではのっていない．最近の確率論の雰囲気をつかむのに適した本なのかも．

第１章：１次元の単純ランダムウォークとスターリングの公式
上の単純ランダムウォークについて，nステップ後の距離の二乗の期待値はnであることや，再帰的であることなどが書かれている．また，スターリングの公式も（ほぼ）証明されている．

第２章：多次元の単純ランダムウォーク
上の単純ランダムウォークについて，２次元のときは再帰的だが，３次元以上では再帰的でないことが書かれている．さらに，二つのランダムウォークが交差するかどうかを考え，４次元以下では確率１で交差し，５次元以上では交差する確率は１未満であることが説明されている．また，nステップまでに交差する確率の漸近的な大きさについて，どんな予想があるかが書かれている．

第３章：自己回避ウォーク
上の自己回避ウォーク（SAW）について，長さnのSAWの個数の漸近的な大きさなどが議論されている．分かっていないことが多いと書かれている．（全然理解していないのだが，2000年代に入って，シュラム，ヴェルナーをはじめとする人々によって，SAWなどについて非常に大きな進展があったらしい．）

第４章：ブラウン運動
１次元の単純ランダムウォークの極限として（時間を1/N, 距離を），ブラウン運動が得られることが説明されている．また，ブラウン運動の零点のbox次元が1/2であることが，ヒューリスティックに説明されている．

第５章：カードシャッフルとランダムな置換
Ｎ枚のカードに対して，カードを切るという操作はＮ枚のカードの置換群 の元を与えることと思える． iid の-値確率変数を与え，Ｎ枚のカードに作用させることで，Ｎ枚のカード上のマルコフ連鎖ができる．この章では，いくつかのカードシャッフルの仕方が書かれている．

第６章：７回シャッフルすれば十分（だいたい）
リッフル・シャッフルというカードの切り方を考えて，リッフル・シャッフルからＮ枚のカード上のマルコフ連鎖を作る．全変動ノルムで測って，N=52のときは，７回シャッフルするとかなり混ざることが説明されている．詳細については，Mann, How many times should you shuffle a deck of cards, in Snell (1995), 261--289 に委ねている．

第７章：有限集合上のマルコフ連鎖
有限集合上のマルコフ連鎖が定義され，既約で非周期的ならば，定常分布が存在することが証明されている．だいたい［舟木］の7.4節の内容にあたる．

第８章：マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）
マルコフ連鎖の定常分布を知るアルゴリズムとして，二つの例が挙げられている．一つの例は，0, 1からなるランダム行列（ただし, 1の隣りあう成分は0のみである行列）とイジングモデルとの関係がお話として説明されている．もう一つの例は自己回避ウォークに対する pivot algorithm が説明されている．（あまりよく分からなかった．）

第９章：ランダムウォークと電気回路
重み付き有限グラフ上のランダムウォークについて，電気回路と合わせて説明されている．調和関数やエネルギー，ディリクレ問題について簡単に書かれている．

第１０章：一様全域木（uniform spanning trees）
連結単純グラフGに対して，Gの全域木を作るgroundskeepwer's algorithmとよばれる確率的なアルゴリズムが説明されている．さらに，このアルゴリズムによるマルコフ連鎖の定常分布が，Gの全域木の集合上の一様分布であることが説明されている．詳細については，Pemantle, Uniform spanning trees, in Snell (1995), 1--54 に委ねている．（あまりよく分からなかった．）

第１１章：ランダムウォークのシミュレーション
主に，第１章と第２章の計算についてのシミュレーションが書かれている．

第１２章：その他のシミュレーション
乱数生成器を用いて，正規分布の乱数を出すにはどうすればよいかが書かれている．また，第６章や第８章の計算についてのシミュレーションが書かれている．

第１３章：数理ファイナンスにおけるシミュレーション
（読まなかった．）